Gerd Faltings és az Abel-díjasok, köztük Szemerédi Endre és Lovász László tudományformáló hatásai
A matematikai bizonyítás olyan ajándék, amelyet majd a jövő nemzedékek bontanak fel – szól a máig örökérvényű mondás, amely annak ellenére, hogy ismeretlen forrásnak tulajdonítják, önálló filmkockán szerepel a matematikai Nobel-díjként számontartott Abel-díj imázsfilmjében.
A 2003 óta odaítélt, hivatalos nevén Niels Henrik Abel Matematikai Díj idei kitüntetettje Gerd Faltings, a németországi Bonnban működő Max Planck Matematikai Intézet kutatója „az aritmetikai geometriában bevezetett hatékony eszközeiért, valamint a Mordell- és a Lang-féle diofantikus sejtések régóta fennálló problémáinak megoldásáért”. Ezek történelmi matematikai rejtélyek – fogalmaz a Norvég Tudományos és Irodalmi Akadémia az idei Abel-díjhoz kapcsolódó közleménye, amely úgy méltatja Gerd Faltings alakját, hogy a Max Planck Intézet mára emeritus professzora meghatározó egyéniség az aritmetikai geometria tudományában.
„Elképzelései és eredményei alapjaiban formálták át a területet. Nemcsak jelentős, régóta nyitott sejtéseket oldott meg, hanem új keretrendszereket is létrehozott, amelyek évtizedeken át irányt mutattak a további kutatásoknak. Kivételes teljesítménye egyesíti a geometriai és aritmetikai szemléletet, és jól példázza a mély strukturális felismerések erejét” – olvasható a laudációban.
A Mordell-sejtésként (1922) ismert diofantikus probléma 60 éven át foglalkoztatta a matematikusokat. 
A sejtés szerint egy széles egyenletosztálynak csak véges sok racionális megoldása lehet. Faltings eredetileg nem a sejtés bizonyítását tűzte ki célul, hanem abban reménykedett, hogy kutatásából valami érdekes fog születni. Amikor azonban 1983-ban (29 évesen) váratlanul megoldotta ezt a régóta megoldatlan problémát, egyik napról a másikra világhírűvé vált, és 1986-ban Fields érmet is kapott. Bizonyítása a szakértőket is lenyűgözte, így a Mordell-sejtés ettől kezdve Faltings-tétellé vált. A következő évtizedekben Faltings egymás után oldotta meg az újabb problémákat, mintha matematikai gyöngyöket fűzne fel egy láncra.
| Diofantikus egyenletek A matematika egyik legrégebbi és legfontosabb területe az olyan egyenletek megoldása, amelyekben csak egész számok (pozitív, negatív számok vagy nulla) szerepelnek. Ezeket nevezzük diofantikus egyenleteknek. Egy ismert példa a Pitagorasz-tétel (x² + y² = z²). Ennek az egyenletnek végtelen sok egész megoldása van. Két egyszerű példa: 3² + 4² = 5², azaz 9 + 16 = 25, illetve 5² + 12² = 13², azaz 25 + 144 = 169. A diofantikus egyenletek állnak Gerd Faltings aritmetikai geometriában végzett munkájának középpontjában. |
A fentieket megerősíti és a matematika e konkrét területéhez értőként el is magyarázza Zábrádi Gergely, a Rényi Intézet Analitikus számelmélet és reprezentációelmélet csoportjának kutatója, akinek kutatói tevékenysége részben egy olyan terület, amely Gerd Faltings egy tételéből nőtt ki (Hodge-elmélet). Gergely megerősíti, hogy Gerd Faltings eredménye új területeket nyitott az elméleti matematikában, sőt, akár az is mondható, hogy ennek az új területnek távlatilag köze lehet az elméleti fizikához is. Gergely többször személyesen is találkozott Gerd Faltings-szal, sőt 2009-ben “posztdoktori kutató” volt Bonnban, és rendszeresen töltött időt az akkor intézetvezetőként dolgozó professzorral.
Mordell-sejtés, 1922 (Faltings tétele, 1983) Kapcsolódó fogalmak:
Például a Fermat-féle egyenlet (azaz x^n+y^n=z^n) is megad egy algebrai síkgörbét. Tekintsük ugyanis az a^n+b^n-1 polinom által meghatározott görbét. Ez minden n-re egy sima algebrai síkgörbe. Ha n legalább 4, akkor erre a görbére alkalmazhatjuk Faltings tételét: véges számú olyan (a,b) racionális számpár van, melyekre a^n+b^n=1. Ha a Fermat-egyenletnek (x,y,z) egy olyan megoldása, hogy z nem 0, akkor a=x/z és b=y/z-vel az (a,b) egy racionális koordinátájú pont a síkgörbén. Faltings tétele szerint ilyen (a,b) racionális számpárból csak véges számú lehet. Persze Wiles (1993-as) tétele óta tudjuk, hogy valójában a Fermat-egyenletnek nincs nemtriviális megoldása. A triviális megoldások az (a,b)=(1,0), illetve az (a,b)=(0,1) pontoknak felelnek meg. Más racionális koordinátájú pont nincs ezen a görbén (tehát 2 pont van, ami véges szám). (Keretes szöveg: Zábrádi Gergely) |
Faltings rendszeresen szánt időt a fiatal kollégákra, minden szemináriumon ott volt, és gyakran együtt is ebédelt velük. „A Fermat-sejtés nagyon régóta, több száz éve, azaz, a 17. szd óta megoldatlan volt, és nem lehetett tudni, van-e megoldása az egész számok között, úgy, hogy egyik se nulla. A Mordellből pedig az jön ki, hogy ha van is megoldása, akkor is csupán véges számú van. A Mordell egy általánosabb tétel, amely nemcsak a Fermat-egyenletre igaz, hanem egy csomó másik egyenletre is, hogy csak véges számú megoldásuk lehet, ha van egyáltalán. Később, tíz év múlva derült ki, hogy a Fermat-nak történetesen nincs is megoldása, ám 1983-ban ezt még nem tudtuk. Ez azért számelméleti szenzáció, mert a Fermat-sejtés „megfejtésére” nagyon nehéz volt rájönni"– meséli Zábrádi Gergely.
„Egyrészt értette ezt a nagyon nehéz matematikát, másrészt voltak ötletei. Munkássága több új tématerületet is nyitott a matematikában – fűzi hozzá a Rényi matematikusa. Ebből aztán új iskolák nőttek ki, annak ellenére, hogy Faltingsnak nem volt túl sok tanítványa-doktorandusza, bár aki volt, azokból szinte mind elismert matematikusok lettek. A gondolkodása hatott iskolateremtő módon. Ám ahhoz nagyon magabiztosnak kellett lenni, hogy egy doktori iskolás megkérje őt, hogy legyen a témavezetője. Magasra tette a lécet. Nagyon sok előismeret kell Faltings bizonyításainak megértéséhez” – magyarázza Gergely. „Hasonló bizonyítások akár 2-300 oldalasak is lehetnek – folytatja –, előfordul, hogy nem is egyetlen tudományos publikációban írják le ezeket, hanem cikksorozatot szentelnek a témának.”
Faltings Mordell-sejtés-bizonyítása nem hosszú, mindössze kb. 20 oldal.
„A matematikai eredmények gyakran évszázadok vagy akár évezredek alatt fejtik ki hatásukat, és a 21. századra teljesen átszövik a mindennapjainkat. A matematika az alapja az alapkutatásoknak is – emlékeztet Stipsicz András akadémikus, a Rényi főigazgatója. A díj létrehozása óta eltelt 23 év alatt 26 díjazott volt, és 3 magyar érintett, ezek mutatják a magyar matematika erejét” – teszi hozzá a főigazgató. (2005-ben Lax Péter, 2012-ben Szemerédi Endre és 2021-ben Lovász László – szerk.)
„A 3 díjazottból 2 Magyarországon, a Rényiben, diszkrét matematikában dolgozik, és eredményeik megkerülhetetlenek a számítógépek fejlesztésében, például algoritmusok hatékonyságához vagy gyorsaságához szükséges elméletek kidolgozásában. A Lovász Lászlóról írt laudációban szerepel is a mondat, hogy „hozzájárulása fundamentális a számítástudomány fejlődéséhez” – idézi vissza Stipsicz András. „Az általuk bebizonyított tételek átformálták a matematikusok hozzáállását, és átszivárogtak a gazdaságba, a mérnöki tudományokba, a fizikába, és bámulatosan változtatták meg ezeket: például egy orvosi műszer megalkotásához rengeteg matematikai háttér szükséges.”
Az Abel-díjasoknál, ha nem a konkrét eredményeket nézzük, hanem a szemléletet, akkor is kirajzolódik egy olyan általános aspektus, amely mind Szemerédi Endrére, mind Lovász Lászlóra, mind Gerd Faltings munkásságára érvényesnek mondható. Ilyen a „mély struktúrák” keresése: az olyan díjazottak, mint Jean-Pierre Serre, Gerd Faltings vagy Andrew Wiles nem elszigetelt problémákat oldottak meg, hanem rejtett összefüggéseket tártak fel látszólag különböző tényezők között. Szintén jellemző, hogy az Abel-díjasok eredményei gyakran több terület találkozásánál (algebra és geometria, analízis és fizika, számelmélet és topológia) születtek.
Az Abel-díjasok sokszor évtizedekig dolgoztak egy problémán vagy egyes elméletek megalkotásán, és közben nem problémák megoldásához jutottak, hanem rendszereket értettek meg. Nem (elsősorban) válaszokat adtak, hanem új kérdések feltevését tették lehetővé.